統計学・金融数理リファレンス
本ドキュメントは、データの性質を理解するための統計基礎から、市場の重力を計算する金融工学の数式までを体系的にまとめたものである。
1. データの「中心」を知る：平均（Mean）
データ全体のバランスが取れる「重心」を定義する。
算術平均 ( $\mu$ )
すべての値を合計し、データの数で割る。 \(\mu = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}\)
- 投資的意味: 特定の期間において、買い手と売り手が最も多く取引を行い、納得した「均衡価格」。
2. データの「バラつき」を知る：標準偏差（Standard Deviation）
価格が平均からどれくらいの幅で動くか（ボラティリティ）を数値化する。
標準偏差 ($\sigma$)
\[\sigma = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \mu)^2}{n}}\]- 投資的意味: 市場の「揺れ」の大きさ。$\sigma$ が大きいほど、リスク（不確実性）が高いことを示す。
3. 「異常」を検知する：Zスコア（Z-Score）
現在の価格が、平均から標準偏差いくつ分「離れているか」を測る。
Zスコア ($Z$)
\[Z = \frac{x_{now} - \mu}{\sigma}\]- 投資的意味:
- \(｜Z｜ > 2.0\) は、統計的に 95%の確率で起こり得ない「異常事態」。
- プラスに振り切れば「過熱（バブル）」、マイナスなら「過冷（パニック）」と判定する。
4. 「重力」をモデル化する：OU過程（Ornstein-Uhlenbeck Process）
離れた価格が平均に「戻る力」を物理的に記述する数理モデル。
OU過程の微分方程式
\[dx_t = \theta (\mu - x_t)dt + \sigma dW_t\]- $\theta$ (シータ): 回帰速度。平均から離れた際に引き戻す「バネの強さ」。
- $(\mu - x_t)$: 平均と現在値の距離。離れるほど復元力が増大する。
- $\sigma dW_t$: 市場のランダムなノイズ（ブラウン運動）。
- 投資的意味: 価格はランダムに動きながらも、常に平均 $\mu$ という重力に支配されているという現実をモデル化している。
5. 「戻る時間」を予測する：半減期（Half-life）
乖離した価格が平均まで戻るのにかかる時間的尺度。
計算式
\[T_{half} = \frac{\ln(2)}{\theta}\]- 投資制意味: 異常な乖離（パニックやバブル）が、どれくらいの期間で「半分まで解消されるか」の目安。
6. 「未来の確率」を導く：モンテカルロ・シミュレーション
決定論的な予測が不可能な相場において、1万通りの「もしも」を計算する。
離散化された更新式
\(x_{t+1} = x_t + \theta (\mu - x_t) \Delta t + \sigma \sqrt{\Delta t} \epsilon\) ($\epsilon$: 標準正規分布 $N(0,1)$ からのランダムなショック)
- 投資的意味:
- 前日の価格に「重力の引き戻し」を加える。
- そこに「ランダムな揺れ」を加える。
- これを数千回繰り返し、将来の価格が「現在の価格より低くなっている確率（反転確率）」などを導き出す。
数理分析の運用チェックリスト
| ステップ | 指標 | 目的 |
|---|---|---|
| 1. 位置確認 | Z-Score | 今の価格は、統計的に「異常」な位置か？ |
| 2. 構造確認 | Theta ($\theta$) | 市場に「戻ろうとする重力」は生存しているか？ |
| 3. 時間確認 | Half-life | 平均に戻るまで、何日程度耐える必要があるか？ |
| 4. 確率確認 | Monte Carlo | 6ヶ月後に目標価格に達している確率は何％か？ |
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